数模竞赛|数模国赛15个常见模型

作者介绍：苗枫，华中科技大学管理学院18级博士研究生，本科时全国大学生数学建模国赛一等奖，并多次带队获得美国数学建模竞赛一等奖

这里整理了几个在国赛中常见的问题，希望能对大家有所帮助。

01 四天的时间分配是怎样的？

第一天（周四）晚上确定下题目之后三个人一起查资料或者比赛中可能需要用到的数据，最好是一边查一边有一个人负责筛选出有用的文献，做好标记给方便给队友看；接着就是开始分工阅读论文，这里提醒大家也可以找一些英文的文献来看，有时会很有帮助，我们参赛时一般一个主要负责阅读英文论文，另外两个队友主要负责阅读中文论文，然后再集体交流汇总。读论文的过程中开始可能毫无头绪，三人也不怎么交流，读了一定量的东西后每个人就开始有想法，那么队友之间就应该及时讨论交流。

等到第二天（周五）上午以及下午一般就要把第一问做完开始第二问的答题了（对于第一问比较简单的问题而言），但第二天结束后第一个模型应该已经可以初具规模，编程也要相应的跟上来，相关的写作也初步开展，解决了第一个小问题后很有可能在第二个问题上会遇到瓶颈，有可能一晚上都没什么太大的进展，但也不要慌张，因为大多数队伍情况都很类似。

第三天（周六）是解决问题很关键的一天，这个时候队友之间便相互鼓励，不时交流自己的想法，继续看文献，做尝试，想办法解决问题，一定要在晚上前想出解决办法，不然后面很可能就会遇到做不完的情况。

第四天（周日）处理剩下的一些其他问题使模型更加完善，修改论文的格式等等。想要跟大家说的是，一定及早开始写论文，哪怕这时模型还没有完整建立完。

02 论文是一个人写还是集体写？

我的建议是大家三个人一起写，因为如果只有一个人写的话一方面工作量过大，写到最后可能陷入到自己都很迷的状态中，写出来的论文效果比较差；另外一方面每个人写作的风格不同思想也不同，分工写作可以让队友多读读自己写的部分，让队友提醒自己哪些地方需要补充，三个人互相完善论文，提高论文质量。

03 参考文献怎么写？

参考文献格式要求比较繁琐，如果是在知网上查的文献的话可以直接生成参考文献，不过要注意把中文的翻译成英文的。另外也可以在百度上搜“参考文献在线生成器”，用起来也很方便。

04论文的图和编辑器？

流程图结构图等推荐使用 Visio，而且可以和 Word 结合，使用很容易上手。

如果很熟悉的话可以用 Latex，一般用 Word也够了，公式编辑可以用 Word 自带的公式编辑器，不过还是建议用 Mathtype，可以嵌入到 Word 里。

常见的15个模型

数学模型对于数模比赛的重要性应该是不言而喻。如果你是第一次参加数模比赛甚至是第一次接触数模这个概念，在最开始准备的一段时间，可能你需要在数学模型上多花点功夫了。 这里整理了以下15个经典数学模型。你可以在了解这些模型的同时通过学习相关资料书籍对这些模型进行更深入的了解。

1 灰色预测

基于灰色建模理论的灰色预测法，按照其预测问题的特征，可分为五种基本类型，即数列预测、灾变预测、季节灾变预测、拓扑预测和系统综合预测。这五种类型的预测方法，都是区域开发研究中重要而且常用的预测方法。

2 灰色关联分析方法

在实际问题中，许多因素之间的关系是灰色的，人们很难分清哪些因素是主导因素，哪些因素是非主导因素；哪些因素之间关系密切，哪些不密切。灰色关联分析，为我们解决这类问题提供了一种行之有效的方法。

3 主成分分析方法

地理环境是多要素的复杂系统，在我们进行地理系统分析时，多变量问题是经常会遇到的。变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。因此，我们就会很自然地想到，能否在各个变量之间相关关系研究的基础上，用较少的新变量代替原来较多的变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来较多的变量所反映的信息？事实上，这种想法是可以实现的，主成分分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的方法。

4 模糊聚类分析方法

模糊聚类分析，是从模糊集的观点来探讨事物的数量分类的一类方法，主要包括基于模糊等价关系与基于最大模糊支撑树的模糊聚类分析方法。

5 随机模拟（蒙特卡罗算法）

随机模拟法也叫蒙特卡罗法，它是用计算机模拟随机现象，通过大量仿真试验，进行分析推断，特别是对于一些复杂的随机变量，不能从数学上得到它的概率分布，而通过简单的随机模拟就可以得到近似的解答。Monte Carlo 法也用于求解一些非随机问题，如重积分、非线性方程组求解、最优化问题等。需要指出的是，Monte Carlo计算量大，精度也不高，因而主要用于求那些解析方法或常规数学方法难解问题的低精度解，或用于对其他算法的验证。

6 多元回归模型

由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型。所以在遇到有些无法用机理分析建立数学模型的时候，通常采取搜集大量数据的办法，基于对数据的统计分析去建立模型，其中用途最为广泛的一类随即模型就是统计回归模型。

7 正交试验设计

正交试验设计是利用正交表科学的安排与分析多因素试验的方法，是最常用的试验设计之一。正交表分为等水平正交表和混合水平正交表。等水平代表各因素所取的水平数相同，混合水平表示各因素的水平数不一定相同。

8 图论

图论中的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。图论是运筹学中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。其中包括的问题有最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等。

9 目标规划模型

为了克服线性规划的局限性，目标规划采用设置偏差量、统一处理目标与约束以及设置目标的优先级与权系数等手段，除刚性约束必须严格满足外，对所有目标约束均允许有偏差。目标规划的求解过程要从高到低逐层优化，在不增加高层次目标的偏差值的情况下，逐次使低层次的偏差达到极小。

10 马尔科夫预测方法

对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。这就是关于事件发生的概率预测。

马尔可夫（Markov)预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期)变动状况的一种预测方法。马尔可夫预测法是地理预测研究中重要的预测方法之一。

11 时间序列分析

按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析

12 模糊综合评价模型

模糊综合评判方法，是一种运用模糊数学原理分析和评价具有“模糊性”的事物的系统分析方法。它是一种以模糊推理为主的定性与定量相结合、精确与非精确相统一的分析评价方法。由于这种方法在处理各种难以用精确数学方法描述的复杂系统问题方面所表现出的独特的优越性，近年来已在许多学科领域中得到了十分广泛的应用。

13 层次分析模型

层次分析法（简称AHP方法)，是一种定性与定量相结合的决策分析方法。它是一种将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化的过程。应用这种方法，决策者通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，就可以得出不同方案的权重，为最佳方案的选择提供依据。

14 模糊数学方法

模糊数学方法，是一种研究和处理模糊现象的新型数学方法。这一方法，是由美国自动控制专家查德(L.A.Zadeh)于1965年首次提出来的。在经典集合论中，一个元素对于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，绝不允许模棱两可。这一要求就从根本上限定了以经典集合论为基础的常规数学方法的应用范围，它只能用来研究那些具有绝对明确的界限的事物和现象。但是，在现实世界中，并非所有事物和现象都具有明确的界限。譬如，“高与矮”，“好与坏”，“美与丑”，……，这样一些概念之间就没有绝对分明的界限。严格说来，这些概念就是没有绝对的外延，这些概念被称之为模糊概念，它们不能用一般集合论来描述，而需要用模糊集合论去描述。

15 模拟退火算法

模拟退火算法来源于材料的热处理原理，将金属加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

作者：苗枫，华中科技大学管理学院18级博士研究生，联系邮箱：460019724@qq.com

排版：欧子铨，华中科技大学管理学院17级本科生，联系邮箱：479284829@qq.com